За 3 последние месяца внутрибеларусского сезона успел провести всего 1 матч – непростой матч 1/8 финала Кубка Беларуси против футбольного клуба «Островец» из первой лиги местного чемпионата (второй дивизион). Гутор помог собственной команде выиграть этот матч со счётом 3:1. По итогам этой игры Александр был признан лучшим игроком матча.
Ранее уроженец Минска уже выступал за БАТЭ, будучи воспитанником клуба. С 2006 по 2009 год он играл в молодёжных и дублирующем составах борисовчан. С 2008 по 2013 год Гутор выступал в составе первой команды БАТЭ. Дебютировал за основу клуба в 2008 году. Александр помог БАТЭ добиться исторического успеха, выйдя на поле в матче с болгарским «Левски» (1:1) в августе 2008 года и заменив дисквалифицированного основного вратаря клуба Сергея Веремко – борисовский клуб впервые в истории Беларуси вышел в групповую стадию Лиги чемпионов.
В 2011 году после ухода Веремко в украинский футбольный клуб «Севастополь» Гутор на один сезон стал основным вратарём БАТЭ и помог клубу во второй раз в собственной истории попасть в групповую стадию Лиги чемпионов.
Однако в 2012 году Александр проиграл конкуренцию новому вратарю борисовчан Андрею Горбунову, после чего не без помощи спортивных чиновников досрочно разорвал контракт с родным клубом. По итогам первого прихода в БАТЭ Гутор стал 5-кратным чемпионом Беларуси, обладателем Кубка Беларуси в 2010 году и 2-кратным обладателем Суперкубка Беларуси (2010, 2011).
Помимо этого, он помог клубу дважды пробиться в групповую стадию Лиги Европы – второго по значимости европейского клубного турнира (2009, 2010), а также сыграл в 1/16 финала этого соревнования против французского «Пари Сен-Жермен» в 2011 году – ещё в дошейховскую эпоху (2:2, 0:0 – по правилу «выездного гола» в следующую стадию турнира прошли французы).
После скандального ухода из БАТЭ Гутор выступал в минском «Динамо» (2013-2016 годы), которому дважды помог выйти в групповую стадию Лиги Европы – впервые в истории клуба (2014, 2015), причём в последнем случае он выиграл серию послематчевых пенальти против грозного австрийского «Ред Булл Зальцбург». В последнем сезоне в составе клуба Александр был капитаном. Пробовал себя вратарь и за пределами Беларуси – так, с 2016 по 2017 год он выступал на территории Российской Федерации, однако не добился особых успехов. 
В «Оренбурге» Гутор начинал в качестве основного вратаря, однако со временем проиграл конкуренцию и стал запасным голкипером, после чего подписал контракт с «Тосно», за который в итоге не провёл ни одного матча. После российских неудач Александр переехал в Украину, где провёл первую половину сезона 2017/2018 местной премьер-лиги в составе одесского «Черноморца». Там Гутор был основным вратарём, однако не продержался и до конца года, вернувшись в Беларусь.
В родной стране Александра подписал футбольный клуб «Динамо-Брест», с которым он выиграл три трофея – Кубок и Суперкубок Беларуси в 2018 году, а также чемпионат в следующем году (кстати, выиграв этот чемпионат, Гутор помог «Динамо» прервать 12-летнюю гегемонию родного БАТЭ). В 2020-м году вратарь перешёл в солигорский «Шахтёр», которому помог ещё дважды выиграть чемпионат Беларуси, Там же Александр не позволил БАТЭ выиграть Суперкубок Беларуси в 2021 году, отразив пенальти от многолетнего одноклубника Максима Скавыша и вице-капитана клуба Евгения Яблонского, а также нанеся решающий удар в составе «Шахтёра».
После годичного простоя Гутор повторно попробовал себя на легионерских хлебах, переехав в казахстанский «Аксу», однако там он провёл всего 3 матча, пропустив 6 мячей, и покинул клуб.
Здорово проявил себя Александр и на уровне национальных сборных Беларуси. Так, он помог молодёжной сборной страны попасть на чемпионат Европы 2011 года, на котором команда выиграла бронзовые медали, что позволило ей впервые в истории Беларуси принять участие в Олимпийском футбольном турнире, состоявшемся в следующем году в Соединённом Королевстве (в частности, Гутор сыграл на легендарном стадионе «Олд Траффорд» в Манчестере против олимпийской сборной Бразилии с Неймаром и Марсело в составе). Во многом именно достижения Гутора в молодёжной сборной помогли ему стать лучшим футболистом Беларуси 2011 года.
Играл Гутор и за главную команду страны – с 2013 по 2020 годы, сыграв 21 матч и пропустив 38 голов.
